Nível Intermédio

Áreas

A aplicação ilustra a determinação da área de um círculo através da sua decomposição num número crescente de setores circulares, recriando o processo utilizado por Arquimedes (287–212 a.C.) para provar a relação \(P = 2A\) entre o perímetro da circunferência unitária (\(P\)) e a área do círculo unitário (\(A = \pi\)).

Sendo o número \(\pi\), por definição, a razão constante entre o perímetro e a medida do diâmetro de qualquer circunferência, o perímetro de uma circunferência de raio \(r\) é igual a \(2 \pi r\).

Se o círculo é dividido em \(n\) setores circulares iguais, a medida do arco subentendido por cada um deles é igual a \(2 \pi r \over n\).

Como fica patente na aplicação, à medida que \(n\) aumenta a área de cada setor circular aproxima-se da área de um triângulo com base \(2 \pi r \over n\) e altura \(r\).

Assim, \(A_n = {\pi r^2 \over n}\), pelo que a área \(A\) do círculo aproxima-se de \(n \times A_n = \pi r^2\).

Qual o significado de “aproxima-se”?

Como terá concluído Arquimedes que \(A = \pi r^2\) e, por conseguinte, \(A = {P \over 2} r\) e \(P = 2A\) no caso do círculo unitário?

  • Saber mais!

    O método que Arquimedes usou para provar que \(A = {P \over 2} r\) baseia-se no Princípio de Exaustão. Este princípio foi enunciado por Euclides na Proposição 1 do livro X de “Os Elementos”:

    Dadas duas grandezas desiguais A e B, se da maior se subtrair uma grandeza maior que a sua metade, e do que restar uma grandeza maior que a sua metade, e se repetirmos continuamente este processo, restará uma grandeza que será menor que a menor das duas grandezas iniciais.

    Aplicando este princípio a áreas de figuras planas pode-se demonstrar rigorosamente que a diferença entre as áreas de um círculo e de um polígono regular de \(n\) lados nele inscrito pode ser tão pequena quanto se queira, desde que se escolha \(n\) suficientemente grande. O mesmo se verifica para a diferença entre a áreas de um polígono regular de \(n\) lados circunscrito a um círculo e a área do círculo.

    Exprimimos este facto dizendo que as áreas dos polígonos vão “exaurir” (esgotar) a área do círculo.

    Observemos que os triângulos que aproximam por excesso e por defeito a área do setor circular juntos formam polígonos cujas áreas aproximam por excesso e por defeito a área do círculo. Então, as áreas dos triângulos vão exaurir a área do círculo.

    Arquimedes supôs, por absurdo, que não se verificava a igualdade \(A = {P \over 2} r\). Como terá procedido?

    Designemos respetivamente por \(Q_n\) e \(T_n\) as áreas dos polígonos circunscritos e inscritos no círculo.

    Se não se verificasse a igualdade \(A = {P \over 2} r\), seria \(A > {P \over 2} r\) ou \(A < {P \over 2} r\).

    1. Se \(A > {P \over 2} r\), seja \(\epsilon = A - {P \over 2} r\).
    Então, existirá um polígono inscrito com área \(T_n\) tal que \(T_n > A - \epsilon\), isto é, \(T_n > {P \over 2} r\).
    Designando por \(t_n\) o lado desse polígono e por \(s_n\) o seu apótema, temos que \(T_n = n \times {t_n \times s_n \over 2}\).
    Mas, como o polígono de área \(T_n\) está inscrito no círculo, \(t_n < {P \over n}\) e \(s_n < r\).
    Então, \(T_n < n \times {{P \over n} \times r \over 2}\), isto é, \(T_n < {P \times r \over 2}\), o que é absurdo.

    2. Se \(A < {P \over 2} r\), seja \(\epsilon = {P \over 2} r - A\).
    Então, existirá um polígono circunscrito com área \(Q_n\) tal que \(Q_n < A + \epsilon\), isto é, \(Q_n < {P \over 2} r\).
    Designando por \(q_n\) o lado desse polígono e por \(r_n\) o seu apótema, temos que \(Q_n = n \times {q_n \times r_n \over 2}\).
    Mas, como o polígono de área \(Q_n\) está circunscrito ao círculo, \(q_n < {P \over n}\) e \(r_n < r\).
    Então, \(Q_n > n \times {{P \over n} \times r \over 2}\), isto é, \(Q_n > {P \times r \over 2}\), o que é absurdo.

    Concluindo, só pode ser \(A = {P \over 2} r\).

Referências

  • A Matemática na Antiguidade, Texto baseado em notas das lições de História da Matemática do Professor José Sebastião e Silva, Leituras em Matemática, V1, Sociedade Portuguesa de Matemática, 2000.
  • A História do Pi em Hipervídeo, T. Apostol, S. Nápoles, T. Chambel, J. F. Rodrigues, CD-ROM Interactivo, Texto Editores, 2007.
  • Episódios da História da Matemática para o Ensino, Eunice Ferreira Neves, Departamento de Matemática, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 2007.