Nível Básico

Áreas

A aplicação permite-nos chegar à fórmula da área de um triângulo recorrendo à construção de um retângulo.

Para o efeito, o triângulo [ABC] é duplicado, dividido em dois triângulos retângulos pela altura [CP] relativa à base [AB] e os três triângulos são ajustados de forma a obter um retângulo.

Que relação existe entre a área desse retângulo e a do triângulo [ABC]?

O retângulo é obtido pela justaposição do triângulo [ABC] com dois triângulos resultantes da decomposição de uma cópia de [ABC], pelo que a sua área é o dobro da área de [ABC].

Assim, como podemos calcular a área de [ABC]?

Como a área do retângulo é dada por \(\overline{AB} \times \overline{AP_1}\) e \(\overline{AP_1} = \overline{CP}\), pondo \(b = \overline{AB}\) e \(h = \overline{CP}\), a área do triângulo [ABC] é dada pela expressão \[\acute{A}rea\ de\ [ABC] = {b\times h\over2}.\]

Observemos que, se o triângulo [ABC] for retângulo em A, o vértice C coincide com P1 e tem-se \(\acute{A}rea\ de\ [ABC] = {b\times h\over2}\), isto é, a área de um triângulo retângulo é igual a metade do produto das medidas dos seus catetos.

  • Saber mais!

    A expressão \(\acute{A}rea\ de\ [ABC] = {b\times h\over2}\) está naturalmente associada ao texto “A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela da altura”.

    No triângulo em baixo, se for conhecida a medida do segmento de reta [AD] perpendicular a [BC], que valores se devem tomar para \(b\) e para \(h\)?

    Neste caso toma-se para \(b\) a medida do lado [BC] e para \(h\) a medida do segmento de reta [AD].

    Porquê?

    A área do triângulo [ABC] é igual à diferença entre as áreas dos triângulos retângulos [ADB] e [ADC], pelo que \(\acute{A}rea\ de\ [ABC] = {\overline{BD}\times \overline{AD}\over2} - {\overline{CD}\times \overline{AD}\over2} = {(\overline{BD} - \overline{CD})\times \overline{AD}\over2} = {\overline{BC}\times \overline{AD}\over2} = {b \times h \over 2}\).

    Como calcular a área de um triângulo qualquer?

    Basta expressar a área do triângulo como soma ou diferença de áreas de triângulos retângulos, como acabámos de exemplificar.

    Assim:

    A área de um triângulo obtém-se calculando metade do produto da medida de um lado pela medida da altura relativa a esse lado.

  • Sugestões de exploração

    Uma vez que o processo utilizado se baseia na obtenção da medida da área de um triângulo a partir da área de um retângulo, sugere-se a exploração prévia de Área de um retângulo.