Nível Intermédio

Áreas

Em Área de um círculo ilustramos a determinação da área de um círculo através da sua decomposição num número crescente de setores circulares, recriando o processo utilizado por Arquimedes (287 – 212 a.C.) para provar a relação \(P = 2A\) entre o perímetro da circunferência unitária (\(P\)) e a área do círculo unitário (\(A = \pi\)).

Na presente aplicação, através das áreas de polígonos regulares inscritos e circunscritos a um círculo unitário, construímos um enquadramento de \(\pi\) por sucessões de números racionais, obtendo assim aproximações por excesso e por defeito deste número irracional.

Recriamos a demonstração de Arquimedes, que começou por usar hexágonos inscritos e circunscritos ao círculo unitário e foi duplicando o número de lados. Quando chegou a polígonos com 96 lados verificou que a área \(\pi\) do círculo unitário se enquadrava entre \(3 + \frac{10}{71}\) e \(3 + \frac{1}{7}\), o que conduz a uma aproximação de \(\pi\) com duas casa decimais exatas.

  • Saber mais!

    Como calcular as áreas dos polígonos regulares inscritos e circunscritos?

    Se \(n\) for o número de lados do polígono inscrito, basta decompô-lo em \(2n\) triângulos retângulos iguais e exprimir os seus catetos como funções trigonométricas de \(\frac{180º}{n}\), como se exemplifica em seguida.

    Para os polígonos inscritos:

    Genericamente, \(A_n = n \times sin(\frac{180º}{n}) \times cos(\frac{180º}{n})\), pelo que \(A_{96} = 3,14047...\).

    Para os polígonos circunscritos:

    Genericamente, \(A_n = n \times tan(\frac{180º}{n})\), pelo que \(A_{96} = 3,14271...\).