O hiperbolóide de revolução de uma folha é a superfície gerada pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo transversal, isto é, o eixo perpendicular ao eixo que contém os focos.

O engenheiro e arquiteto russo Vladimir Shukhov (1853-1939) deduziu matematicamente uma família de equações correspondendo a superfícies cuja construção utilizasse o mínimo de materiais, de tempo e de trabalho.

Entre elas está o hiperbolóide de revolução de uma folha, que conjuga a forma curva com uma estrutura duplamente regrada, isto é, por cada um dos seus pontos passam duas retas contidas na sua superfície:
\(x_1(t) = (a,0,0) + t(0,a,b)\) e \(x_2(t) = (a,0,0) + t(0,a,-b)\).

Esta característica simplifica a sua concretização uma vez que pode ser construído com malhas de linhas retilíneas.

Shukhov construiu em 1869, por ocasião da Exposição de Arte e Indústria em Nizhny Novgorod na Rússia, a primeira estrutura em forma de hiperbolóide de uma folha: uma torre com 37 metros de altura formada por uma malha de aço e sustentando um reservatório no topo.

Gaudí (1852-1926), um famoso arquiteto espanhol, foi também um estudioso da matemática, em especial de geometria, e usou hiperbolóides entrelaçados nas abóbadas da Sagrada Família.

Para Gaudí, o gótico era imperfeito, porque as suas formas não refletiam as leis da natureza que, segundo ele, é propensa às formas geométricas regradas. Será por isso que os hiperbolóides de uma folha, assim como outras superfícies regradas, marcam presença nos elementos arquitetónicos da Sagrada Família.

O hiperbolóide de uma folha foi a forma escolhida pelo arquiteto brasileiro Óscar Niemeyer (1907-2012) para dar forma à Catedral de Brasília:

“E mesmo não sendo católico eu me preocupei que quando a pessoa estivesse na nave visse o espaço infinito. Quer dizer, eu procurei uma ligação que para os católicos é importante, a ligação da nave, da terra com o céu.”

Na indústria, o hiperbolóide de uma folha surge na forma de torres de arrefecimento.

Sem o computador e a matemática que lhe serve de suporte, não teria sido possível construir em 2010 a Torre de Cantão (Guangzhou) com 610 metros de altura, também ela com a forma de um hiperbolóide de uma folha, e que está entre as dez estruturas mais altas do mundo.