Nível Básico

Ciência e Técnica

Através dos seletores os utilizadores podem ajustar uma parábola ao cabo da Ponte 25 de Abril sobre o Rio Tejo (Portugal) fazendo variar os coeficientes de uma função quadrática, \(y = a (x – c)^2 + b\).

Esta aplicação contribui para analisar os efeitos da variação dos parâmetros c e b na forma e posição de uma parábola.

  • Saber mais!

    Foi Galileu (1564 -1642) o primeiro a estudar a física e a matemática das pontes.
    Demonstrou que os cabos de uma ponte de suspensão assumem a forma de uma parábola.

    Como se chega a esta conclusão?

    Fixe-se um sistema de eixos como se indica no esquema (o eixo das abcissas coincide com o tabuleiro da ponte e o eixo das ordenadas coincide com o eixo de simetria do cabo de suspensão) e seja P um ponto do cabo com abcissa \(x\).
    Qual a expressão analítica da função f cujo gráfico tem a forma assumida pelo cabo da ponte?
    Tudo se resume ao equilíbrio de três forças: a força TO, que não depende de \(x\), a força TP e o peso W da secção do tabuleiro entre os pontos O e P. Este equilíbrio traduz-se por \(T_P + T_O = W\).

    A força TP tem a direção da tangente à ponte em P e a sua componente vertical tem módulo igual ao módulo de W, o qual é proporcional à abcissa \(x\) no gráfico.

    Assim, \(f'(x) = tg(\alpha(x)) = kx\), pelo que \(f(x) = cte + {kx^2\over2}\).
    Como \(f(0) = 0\), a constante é nula e o cabo assume a forma do gráfico de \(f(x) = {kx^2\over2}\), isto é, a forma da curva de equação \(y = {kx^2\over2}\).

    Na aplicação Cónicas, destinada a trabalhar a equação geral das cónicas, vemos que às parábolas corresponde uma equação da forma \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\) em que \(b^2-4ac=0\).
    A equação \(y={kx^2\over2}\) pode-se escrever na forma\[{k\over2} x^2+0xy+0y^2+0x-y+0=0\]e \(b^2 - 4ac = 0 - 4\times {k\over2} \times 0 = 0\).

    Podemos então concluir que o cabo da ponte assume a forma de uma parábola.