Esta aplicação leva a conjeturar que duas pirâmides retas tendo como bases um retângulo e um paralelogramo equivalentes têm volumes iguais se tiverem a mesma altura.

Esta igualdade, a verificar-se, permite concluir que o volume de uma pirâmide reta cuja base é um paralelogramo é igual a um terço do produto da área da base pela altura.

Porquê?
Consideremos uma pirâmide reta cuja base é um paralelogramo A, de área \(A_A\), e uma pirâmide reta com a mesma altura \(h\) e cuja base é um retângulo B equivalente ao paralelogramo A, ou seja, com área \(A_B = A_A\).

Em Volume de uma pirâmide reta de base retangular justificamos que o volume de pirâmides retas com base retangular é igual a um terço do produto da área da base pela altura. Assim, o volume da pirâmide com base B é \(V_B = {1\over{3}}\times A_B \times h\).

Se cortarmos por planos paralelos às bases as pirâmides no mesmo número de “fatias” com a mesma espessura, observamos que, à medida que o número de fatias aumenta, a sua espessura diminui e o seu formato se aproxima de paralelepípedos com bases equivalentes.

Cortando as pirâmides em \(N\) fatias, aproximamos o volume da pirâmide com base A pela soma dos volumes de \(N\) prismas retos cujas bases são paralelogramos com áreas \(A_1\), \(A_2\), …, \(A_N\), e todos com altura \(h\over{N}\) e o volume da pirâmide com base B pela soma dos volumes de \(N\) prismas cujas bases são retângulos com áreas \(B_1\), \(B_2\), …, \(B_N\), e todos com altura \(h\over{N}\).

O volume \(V_A\) da pirâmide com base A é aproximado por \((A_1 + A_2 + … + A_N) \times h\) e o volume \(V_B\) da pirâmide com base B é aproximado por \((B_1 + B_2 + … + B_N) \times h\).

Em Volume de paralelepípedos retos justificamos que dois paralelepípedos retos cujas bases são, respetivamente, um paralelogramo e um retângulo com a mesma área, têm o mesmo volume. Assim, cada par de fatias em forma de prisma, tendo como bases um paralelogramo e um retângulo com a mesma área, tem o mesmo volume. À medida que o número de fatias for aumentando, a sua espessura vai diminuindo e a soma dos seus volumes aproxima-se cada vez mais do volume das pirâmides.

Então, os volumes das duas pirâmides são iguais, logo, como as áreas das bases são iguais e as pirâmides têm a mesma altura, concluímos que \(V_A = V_B = {1\over{3}}\times A_B \times h = {1\over{3}}\times A_A \times h\).