Nível Intermédio

Ciência e Técnica

Depois das retas e das circunferências, as elipses, parábolas e hipérboles são as linhas mais simples. O facto de poderem ser obtidas como secções de uma superfície cónica de revolução está na origem da designação comum de cónicas.

As suas características geométricas conferem-lhes um papel de destaque no campo da ciência e tecnologia. A sua associação com as fórmulas que as descrevem estabelece uma aliança da Geometria com a Álgebra: as cónicas podem ser expressas por uma equação do segundo grau nas coordenadas (x, y).

\[ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\]

Esta aplicação destina-se a observar o efeito da variação dos parâmetros nesta equação para obter os diferentes tipos de cónicas, consoante o valor é positivo, negativo ou nulo.

Sugere-se a exploração de situações em que os eixos das cónicas são paralelos aos eixos coordenados e a compreensão do significado dos parâmetros nesses casos.

  • Saber mais!

    Deve-se a Apolónio (262 a. C, 190 a. C) a definição de todas as cónicas a partir de uma única superfície cónica, tal como hoje as definimos, e a atribuição dos nomes que continuamos a usar: elipse, parábola e hipérbole.

    Se o plano secante corta todas as geratrizes do cone a curva resultante é uma elipse. Se o plano secante é paralelo a uma só geratriz do cone a curva resultante é uma parábola. Se o plano secante é paralelo a duas geratrizes do cone a curva resultante é uma hipérbole.

     

    Pappus, cerca de cinco séculos depois, estudou as propriedades que permitem definir as cónicas a partir dos focos e das diretrizes.

    Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano tais que a soma das distâncias a dois pontos fixos, os focos da elipse, é uma constante maior do que a distância entre os focos. Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo, o foco, e de uma reta fixa, a diretriz. Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos do plano, tais que o módulo da diferença das distâncias a dois pontos fixos do plano, os focos da hipérbole, é uma constante menor do que a distância entre os focos.

     

    No século XVII demonstrou-se, por obra de Descartes e Fermat, que:

    Toda a equação do segundo grau nas variáveis x e y, \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\), representa uma cónica (eventualmente degenerada num ponto ou em duas retas) e, reciprocamente, toda a cónica é representável por uma equação do segundo grau em x e y.

    O tipo de cónica depende do valor de \(b^2 - 4ac\):

    • Elipse se \(b^2 - 4ac < 0\);
    • Parábola se \(b^2 - 4ac = 0\);
    • Hipérbole se \(b^2 - 4ac > 0\).

    Coube a Fermat a descoberta das equações mais simples da elipse (em particular da circunferência), da parábola e da hipérbole:

    Elipse: \({x^2\over{a^2}} + {y^2\over{b^2}} = 1\) Parábola: \(x^2 = ay\) Hipérbole: \({x^2\over{a^2}} - {y^2\over{b^2}} = 1\)