Em Pirâmides triangulares com aresta vertical num ângulo reto justificamos que o volume de uma pirâmide cuja base é um triângulo retângulo e que tem uma aresta vertical no vértice reto do triângulo é igual a um terço do produto da área da base pela altura que, nesse caso, é o comprimento da aresta vertical.

Para estender este cálculo a pirâmides com uma aresta vertical e tendo como base um triângulo qualquer vamos responder às seguintes questões:

Dada uma pirâmide com uma aresta vertical e tendo como base um triângulo qualquer, como podemos construir uma pirâmide com uma aresta vertical no vértice de um triângulo retângulo que tenha o mesmo volume?

Comecemos por transformar o triângulo da base num triângulo retângulo com a mesma área. Podemos recorrer às aplicações Área de um triângulo e Área de um paralelogramo.

Com efeito, na primeira aplicação justifica-se que, justapondo convenientemente dois triângulos quaisquer se obtém um paralelogramo e na segunda mostra-se como construir um retângulo com a mesma área de um dado paralelogramo.

Então, dado um triângulo qualquer, para construir um triângulo retângulo com a mesma área, basta construir um paralelogramo justapondo duas cópias do triângulo dado, construir o retângulo com a mesma área e, usando uma diagonal, separá-lo em dois triângulos retângulos. Esta sequência permite concluir que o triângulo inicial tem a mesma área de um dos triângulos em que o retângulo é decomposto. Esquematicamente,

Consideremos duas pirâmides da mesma altura com uma aresta vertical e tendo como bases os triângulos A e B, decompostas em igual número de “fatias” da mesma espessura, obtidas através de cortes por planos paralelos às bases, como se mostra na figura seguinte.

À medida que o número de fatias aumenta, a sua espessura diminui e o formato aproxima-se de prismas triangulares com bases equivalentes. Em Volume de um prisma triangular justificamos que o volume de qualquer prisma triangular é igual ao produto da área da base pela altura. Assim, o volume das fatias em que decompomos ambas pirâmides é igual, pelo que as duas pirâmides têm o mesmo volume.

Mas qual será esse volume?

Em Pirâmides triangulares com aresta vertical num ângulo reto justificamos que pirâmides cujas bases são triângulos retângulos e com uma aresta vertical no vértice do ângulo reto, como acontece com a pirâmide de base B, têm volume igual a um terço do produto da área da base pela altura. Então o volume da pirâmide com base A é igual a um terço do produto da área da base pela altura e reencontramos, para pirâmides triangulares com uma aresta vertical a fórmula \(V_{pir\hat{a}mide} = {1\over{3}} \times A_{base} \times altura\).