Como definir figuras planas semelhantes?

O conceito de semelhança de figuras está associado à sua forma e dimensão: figuras planas semelhantes são aquelas que têm a mesma forma mas não necessariamente o mesmo tamanho.

Se uma figura plana F’ é semelhante a uma figura plana F, ou F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma redução de F. O fator de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança.

Designando por r a razão de semelhança, F’ é uma ampliação de F se r > 1, F’ é uma redução de F se r < 1 e F’ é igual a F se r = 1.

Facilmente se reconhece que todos os polígonos regulares com o mesmo número de lados são semelhantes, sendo a razão de semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos lados. Com efeito, todo o polígono regular de n lados é decomponível em n triângulos isósceles iguais, em que a medida da base é igual à medida do lado do polígono. Assim, a ampliação ou redução por um mesmo fator r dos n triângulos determina uma ampliação ou redução do polígono.

Qual a relação entre os perímetros de polígonos regulares semelhantes?

O perímetro de um polígono regular com n lados é igual a n vezes o comprimento do seu lado.

Consideremos um polígono regular P com n lados medindo a unidades de medida e P’ outro polígono com o mesmo número de lados medindo b unidades de medida. O polígono P’ é semelhante a P, sendo \(r = b/a\)  a razão de semelhança de P para P’ (uma vez que \(b = a \times r)\).

Assim, \[\frac{\text{perímetro de P'}}{\text{perímetro de P}} = \frac{n \times a \times r}{n \times a} = r.\]

Qual a relação entre as áreas de polígonos regulares semelhantes?

No que respeita às áreas, basta ter em conta a decomposição do polígono regular de n lados em n triângulos isósceles iguais.

Em Triângulos semelhantes justificamos que se T’ é o transformado de um triângulo qualquer T por uma razão de semelhança r, a razão entre as áreas de T’ e T é igual a r².

Assim, \[\frac{\text{área de P'}}{\text{área de P'}} = \frac{n \times \text{área de T'}}{n \times \text{área de T'}} = \frac{\text{área de T'}}{\text{área de T'}} = r^2.\]

Sugere-se a exploração prévia de Área de um polígono e  Triângulos semelhantes.