Nível Básico
Semelhanças
A aplicação ilustra ampliações e contrações de triângulos e analisa os efeitos sobre os respetivos perímetros e áreas. Estas transformações preservam a forma mas alteram o tamanho. Dizemos neste caso que os triângulos são semelhantes.
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Como definir figuras planas semelhantes?
O conceito de semelhança de figuras está associado à sua forma e dimensão: figuras planas semelhantes são aquelas que têm a mesma forma mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Se uma figura plana F’ é semelhante a uma figura plana F, ou F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma redução de F. O fator de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança.
Designando por r a razão de semelhança, F’ é uma ampliação de F se r > 1, F’ é uma redução de F se r < 1 e F’ é igual a F se r = 1.
Como caracterizar triângulos semelhantes?
Para dois triângulos serem semelhantes, terão que ter a mesma forma, pelo que os ângulos são necessariamente iguais dois a dois.
Neste caso, \(\angle A = \angle A', \angle B = \angle B', \angle C = \angle C'\).
Qual a relação entre o comprimento dos lados de triângulos semelhantes?
Coloquemos o triângulo menor dentro do maior, fazendo o vértice C’ coincidir com o vértice C como se indica na figura.
Neste caso, o triângulo [ABC] sofreu uma redução. Designando por r o fator de contração, temos que \(\overline{A'B'} = r \overline{AB}\), \(\overline{A'C'} = r \overline{AC}\) e \(\overline{B'C'} = r \overline{BC}\).
Assim,
\[\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{B'C'}}{\overline{BC}} = r,\]
isto é, em triângulos semelhantes, a ângulos iguais opõem-se lados proporcionais.
Qual a relação entre os perímetros de triângulos semelhantes?
Seja T’ a transformada de um triângulo T mediante uma razão de semelhança r.
Sendo o perímetro de um triângulo a soma do comprimento dos seus lados, se cada lado de T é multiplicado por uma constante r, o perímetro do triângulo T’ também é multiplicado por r.
Qual a razão entre as áreas de triângulos semelhantes?
Consideremos as alturas CD e C’D’ dos triângulos semelhantes [ABC] e [A’B’C’]
Os triângulos [ADC] e [A’D’C’] são semelhantes.
Então, \(\frac{\overline{A'C'}}{\overline{AC}} = \frac{\overline{C'D'}}{\overline{CD}} = r\) e \[\frac{\acute{A}rea\ de\ [A'B'C']}{\acute{A}rea\ de\ [ABC]} = \frac{\overline{A'B'} \times \overline{C'D'} \over 2}{\overline{AB} \times \overline{CD} \over 2} = \frac{\overline{AB} \times r \times \overline{CD} \times r \over 2}{\overline{AB} \times \overline{CD} \over 2} = r^2.\]
Assim, se T’ é a transformada de um triângulo T mediante uma razão de semelhança r, \(\acute{A}rea\ de\ T' = r^2 \times \acute{A}rea\ de\ T\).