O uso de uma régua ou fita métrica para medir um comprimento é tão natural que não paramos para pensar no que efetivamente estamos a fazer. Na realidade, estamos a considerar uma unidade de comprimento e a verificar quantas vezes ela “cabe” no comprimento a medir.
Para medir áreas associamos a cada unidade de comprimento uma unidade de área e verificamos quantas vezes a unidade de área “cabe” na área a medir.
Analogamente, para medir volumes associamos a cada unidade de comprimento uma unidade de volume e verificamos quantas vezes a unidade de volume “cabe” no volume a medir.

Assim, começamos por escolher uma unidade de comprimento, tomamos para unidade de área a área de um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento e, para unidade de volume, o volume de um cubo cuja aresta tem uma unidade de comprimento, que se designam, respetivamente, por quadrado unitário e cubo unitário.
Por exemplo, se a aresta de um cubo medir 3 unidades de comprimento, ele será preenchido com 27 cubos unitários, pelo que o volume será igual a 3 x 3 x 3 unidades de volume.

No caso da aresta do cubo medir, por exemplo, 2,5 unidades de comprimento, o cubo unitário deverá ser subdividido em 8 cubinhos com 0,5 unidades de comprimento de aresta, isto é, com 1/8 de unidade de volume.

O cubo com 2,5 unidades de comprimento de aresta será preenchido com 8 cubos unitários e 61 cubinhos.

O volume do cubo é pois igual a 8 + 61 x 1/8 = 15,625 unidades de volume, isto é, a 2.5 x 2.5 x 2.5 unidades de volume.

Se nos parece aceitável generalizar este resultado para qualquer cubo cuja aresta tenha medida inteira ou decimal, como calcular o volume de um cubo com aresta de medida irracional?

Se a medida \(a\) da aresta de um cubo for um número irracional, tem-se que, como qualquer número real é o limite de uma sucessão de números racionais, \(a = lim\ a_n,\ a_n \in \mathbb{Q}\) e o volume \(V\) do cubo será o limite dos volumes dos cubos de arestas \(a_n\) isto é,$$V = lim (a_n \times a_n \times a_n) = lim\ a_n \times lim\ a_n \times lim\ a_n = a \times a \times a.$$Assim, qualquer que seja o número real \(a\), o volume do cubo cuja aresta meça \(a\) unidades de comprimento é igual a \(a^3\) unidades de volume.