Considere-se uma esfera de raio \(r\). A secção resultante do corte da esfera por um plano de corte situado a uma distância \(h\) do seu centro é um círculo. Seja \(a\) o raio desta secção.

Pelo Teorema de Pitágoras, \(a^2 = r^2 - h^2\) e, uma vez que a área do círculo de raio \(a\) é igual a \(\pi a^2\), tem-se que a área do círculo é dada por \(\pi a^2 = \pi (r^2 - h^2) = \pi r^2 - \pi h^2\).

Este resultado tem uma interpretação geométrica: a área da secção de corte acima referida é a diferença entre as áreas de dois círculos de raio \(r\) e \(h\). Por outras palavras, é a área de uma coroa circular.

Para aplicar o Princípio de Cavalieri com vista à determinação da fórmula do volume da esfera, é necessário considerar outro sólido cujas secções sejam coroas circulares. Para isso basta considerar um cilindro reto do qual foram removidos dois cones iguais.

A base do cilindro tem raio \(r\), a sua altura é \(2r\) e os vértices dos dois cones coincidem num ponto. O plano (paralelo às bases) que passa por este ponto contém o centro da esfera.

Uma vez que, em cada nível, pelo Princípio de Cavalieri, as figuras têm a mesma área, os sólidos têm o mesmo volume.

Então, o volume da esfera é igual ao volume do sólido resultante de tirar ao cilindro dois cones iguais, pelo que $$V_{esfera} = (A_{base} \times altura_{cilindro}) - (2 \times {1 \over 3} A_{base} \times altura_{cone})$$ $$V_{esfera} = \pi r^2 \times 2r - {2 \over 3} \pi r^2 \times r = 2 \pi r^3 - {2 \over 3} \pi r^3 = {4 \over 3} \pi r^3$$

A aplicação desenvolvida em GeoGebra explora interativamente a construção apresentada através de um seletor que permite variar o valor de \(h\) e observar os valores obtidos para as áreas.